由「三算結合之指導」論珠算心理學中之幾項問題

大陸:邱學華

金朝美譯成日本

台灣:張欽梁譯成中文

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前言:珠算心理學是由教育心理學分支而來

  屬於一種新的研究課題,不論日本或中國早已豎立研究體系,「三算結合」的指導實驗確提供珠算心理學極為豐富而具有價值之資料。本文擬就透過這些實驗資料論述珠算心理學上的幾項問題。

 

一、算盤對兒童「數」概念的構成過程的作用

  據世界各國心理學的研究,兒童對「數」概念的養成均由實物開始,起初在腦中存有具體的「數」,繼而逐漸構成抽象的「數」概念。因此為指導初級數學時,必須運用這些實物道具,例如手指、樹枝與竹葉,或者實物模型等。然而這些道其畢竟有兩項缺點:一則過於具體;再則因具有分散性,所以每遇實物均非數無法得知合計多少?這可能是兒童由具體而轉變成抽象的「數」概念的影響,因此,心理學家與教育學家設計點數圖,利用這些圖將實物的形態作為養成抽象的「數」概念的橋樑,但是這些點數圖不能顯示數的位數,而且十以下的數固然方便。十以上的數就難了。尤有進者,這些點數圖與其教育道真一樣,僅能以眼睛觀看,不能說一定要有接觸的感覺。因此就兒童而言,亦祇能憑器官視覺去理解數的概念。

  算盤確有具體與抽象二者之特徵。使用算盤表示數字時,一是比文字更有具體性,且此實物更有抽象性。為要將「4」讓兒童認識時,事先需準備4支鉛筆、4本書、4架飛機,或4個人的繪,接著再將一的算珠4個,佈置於盤面。最後以誘導的方式讓其認識4這個數字。因此算盤具有結合具體轉入抽象的橋樑的作用。

  算盤具有累積之特性,在梁上面的珠表示五,下珠表示一,向左邊移動一位就表示10倍。由此算盤可以表示「數」群。兒童對數的合計,可以不必一一計算便能很快得知其總和,例如下圖般,兒童可以不必去計算有多少算珠,祇要一看便立即得知且能唸出8或17。就此能唸出數來,所以兒童不必經由實物或點數圓的階段,亦即要比由原始階段更快速的認識「數」。

  算盤具有表示數時,同時具有取位的特徵。亦即將某一位定為個位點,將算珠一一加至10以後,自然須進位為10,於是兒童能理解數與數間十進位的關係,亦能理解不同位數間的數字,這種特徵無法從別的認數教具很明確地把數位的概念揭示出來。特別是寫數字的方式(方向)與以算盤置數的方向相同,且有相互關連性。

  就因為算盤真有取位之功能,可以促使兒童有發展「數」概念之功能。

  如教育心理學的研究所顯示一般,對於大數概念的形成就以十進法作為基礎,進而可以推理與想像而理解。

  在小學算術教科書中,利用方格紙加以誘導兒童推理能力。方格紙一列有十個方格,十列有100個,10張方格紙有1,000個,由這種由1、百、千、萬...能理解大數的概念,這種方法並非最理想的方法,且亦無法很明確地把十進法的關係揭示出來,同時亦無法將方格紙之形象與書寫數字的形式(如326等)結合。

  三算結合的教學所產生許多實驗資料一般,算盤具有很明確的位數,兒童可以用打算盤來計算,以1珠10個進十位,10個10進百位,100個10進千位,由此算盤不以明確地把10進位法的關係顯示出來,就因為這樣,兒童在打算盤時會促使其運動分析器官活動,進而有助於推理與想像能力之培養,而這種物理性的模型恰成為兒童之推理與想像能力之根據。

  如前所述,書寫數位之形式與使用算盤表示數值之形式,相互之間有類似之處,唸與寫,更有教學上之效果,例如兒童要唸4,506、4006、4056等數的唸法並不容易,即是書寫也常發生錯誤,但自從使用算盤之後得悉對當中有空之處應以表示之後,兒童們可以一聽到某一數,便可以很快的在腦中連想盤面上的算珠。基於這種物理模型,兒童既能很正確地把數給唸出來,亦可以把數給寫下的算盤具有的特徵。

  算盤的算珠是圓的(指上二珠下五珠的大型算盤),上下珠均滑溜溜,打起來扒扒響,而且每人一把,誰也都可以打,因此兒童會喜愛它。算盤不僅能用來認識字的教具,兒童用眼睛看,用手指撥,口頭唸,使各部分析器官活動,進而養成培植對「數」概念的最大優點!

 

二、珠算運珠技能形成的過程中所發生的作用

  為研究教育心理學所示一般,初入學的兒童在學習一般算的法則是需一一將數加以計算而漸漸轉移數群。這種轉移如同飛躍般快速,一般較容易拉長時間,泰半的兒童需一年的時間,極少數兒童即是到2至3年級,亦同樣還在使用手指頭,究應使用何種教學法,才能縮短學習的過程。此乃心理學家,教育家們長期想研究突破之關鍵,使用計數器與點數圖可以獲得一定的效果,然而過份理想、快速、或許有時也需計算珠或點點。

  算盤具有利用數群計算之特徵,例如5+3=8,首先將上珠(五個一群)一珠撥靠梁,再將下珠三個撥靠梁,結果會成立一個新的數群,亦即欲認知某數必須從盤面所形成之數群一看便知8。這就是在撥珠時,並非一個個撥入,而是將數群一齊撥入而形成的。不需要由1起連續地一一加以合計。就這樣兒童由初學開始可以很快地脫離一一計數的麻煩,而很容易地轉移而以數群加以計算。由此從實施三算結合教學以後,再也沒有數指頭的現像。

  使用算盤計算可以幫助兒童理解作四則計算的意義,算盤是要將算珠撥入叫加算,將算珠撥開叫減算。這樣很具體地顯示加減運珠的實質意義同一數連續累加以簡便的方法處理時叫做乘算,同一數不連續減除而以簡便的方法處理時,叫做除算,這些都可以在盤面上很明確地表示。

  珠算對心算與筆算而言,真有轉移作用一節已成為心理學家在研究上的一項極為重要的課題。大陸杭州大學教育學部的心理學群,在杭州市上城區的實驗研究上曾加以印證,實施三算結合教學以來,兒童們之心算、珠算、筆算的三算計算能力全部提升,又因此發現珠算對心算、筆算具有轉移作用的正面效果。

  杭州大學教育學部心理學群,曾在建國路第二小學校作頗有價值的實踐研究,那就是為了要觀察珠算對心算、筆算之影響,將實驗用之教材分數階段,每一階段均先予以珠算教學,使其對運珠法熟習後,再教以心算與筆算,在未教珠算前的三算的測定,叫「預測」,教以珠算後在未教以筆算、心算時,對於三算的測定叫「復測」,當時測定之結果如次表:

  觀察該表,可以發現教過珠算後之測定,亦從復測的數值加以判斷,僅先教珠算即使未教心算、筆算、心算、筆算之成績,均較「預測」有顯著之進步。珠算對心算、筆算真有正面的轉移作用,主要就是心算、筆算、珠算三算之間有共通之處。例如加減算的三算同時取同位數並列,加算加減算則在10位減1時,在個位減。

  珠算對心算、筆算真有正面的轉移作用,因而加強心算、筆算之計算能力,並更呈顯促進計算能力之作用。算盤具備形體計算之特徵,同時對心算、筆算更能提供其體的模特兒。

  三算結合教學之後,需將珠算與心算結合而練習,如7+8=15的計算題並不以珠算計算,撥算珠以求答案。接著將計算式唸一次,7+8=15,最後將算盤挪開,直接用心算算之,就這樣每作一次珠算,當可以加強心算同時因珠算是使用計算器具速度快,所以兒童計算題數必然會大量增加,在不斷地多練習中,7+8=15之間的關係就會更堅固地建立起來。就這樣由感性認識的條件反應出直接計算的結果,省去中間計算的過程,而達到熟習之領域。這種將形象計算與抽象計算結合的方法,要比僅就加減表作單調的記憶其效果要格外顯著。

  又一位乘於2位的計算,42×6的心算過程,珠算可以將撥算珠之過程模仿,也就是以計算過程的撥珠的具體形象作為模特兒可以促使抽象的心算計算正確地且快速地計算。

  與上述情形一般,珠算可以作為筆算計算的模特兒,亦可以利用珠算的具體形象的特徵讓兒童理解筆算的計算法則,例如20,000-44,這種題目是被減數是由萬位整數起連續減下來的,多位數的減算於教學中應算是比較難的題目之一。在運算中被減數由0變成9的理由,較抽象而難令兒童理解。亦有些兒童算成20,000-44=,經尋問為什麼這樣算呢?兒童答以因為由0減4不夠減,所以從2裡面借1,10-4=6,其次在10位上的0無法減4,所以再由2借1,10-4=6,於是前面的2已消失,所以答案是66,這就是因為使用算盤計算時,需借l於下一檔是10的具體形象呈現出來,在1減算萬位的1,然後換成10個千(中式算盤可以利用算盤最低下之一珠),將千位的1減卓,變成10個百,去掉百位的1,變成10個10,由十位的珠減去4之後變成19,960,由十位借1減4,10-4=6,使用算盤計算時其盤面會很明確地顯示計算過程,把這種計算顯示之後,再與筆算對照一下,兒童當能暸解其中之理由。

  杭州大學教育部心理學群以三算結合法指導班級與一般指導班級相計調查,故諷查結果顯示,經三算結指導班級,因學過珠算其學習心算與筆算的時間較一般班級減少一半的時間,尤甚於此者,其成績還特別優異。

  這種事實頗具說服力,亦即三算結合教學法可以證明三算有相促進相互相成之作用。對低年級的學童加以教導珠算時,將促使心算與筆算快速進步。珠算對心算、筆算雖有正面的轉移作用,但並不是說三算有相互替代的作用,三算如有其特徵,珠算是以具體的形象計算不能脫離,實質的實物計算之領域。心算是抽象的計算,由其體的計算轉移為抽象的計算,應為一大進步。決不能說已熟習珠算,其心算便會立即有多熟練,因此珠算祇能促使心算進步,並不能替代心算。倘如僅加強珠算訓練,而疏於心算的訓練時,兒童會對珠算產生惰性,僅對珠算略有興趣,而對心算則會不想去練習。

 

三、為使熟練珠算之幾個問題

  欲使珠算的運算能熟練的問題,已成為珠算心理學研究之重要課題,珠算是利用算盤的算珠撥動而計算,所以為熟練珠算乃在企求筋肉之活動與智力活

  動能協調與統一性,於是為了研究熟練珠算的形成問題時,筋肉活動與智力活動兩者相互協調與統一的問題,乃成為主要研究的軌跡。關於此問題我曾於1960年代初期已著手研究,就因為這樣曾「促使兒童珠算計算熟練的方法之研究」。(心理學計誌,1963年第2期)

  從實施三算結合教學起,有關珠算的口訣(註:三下五除二,三退七三還十等),已不使用。為實施珠算與心算、筆算之結合教學,珠算的加減法「加成為5」「加成為10」等方法把算珠撥動而計算。例如4+8,兒童會先將8與2君減10,其次再轉移成運珠的動作,將下面二個算珠撥開,再將前檔一珠一個撥入。兒童就這樣學會5與10的結合的知識,並理解1←→4,2←→3,l←→9,2←→8,3←→7,4←→6,5←→5的結合法,於是立即能反應出運珠的動作。從此三算結合的教學被採用以來,←→的學習過程大的有個階段。

  (1)發出聲音運珠,不發出聲音運珠。

  (2)把撥珠的動作自動化。

  (3)就這樣三算結合教學的方法,使兒童對珠算熟練的時間大為縮短。

其因為:

  (1)減少對口訣(註二上二,二下五除三,二退八還一十)的記憶與理解的時間。

  (2)以前如使口訣撥動算珠,為今要想脫離口訣運珠,需發較多時間,方能辦到。

  由於上列兩種原因,所以現在對「加減5」「加減10」等使用思考方式的運珠法已比前使用口訣計算時的語句更加簡便,同時也使這一階段的指導時間大為減少。亦即:原來4+7,需用口訣「七去三進一十」,現在使用「加減10」的方法所以祇用7←→3(見7反應3)思考其關係即可,於是語句簡明,反應也快。由此一例可以了解欲使珠算熟練的過程,就是要指導語句與撥珠的動作要使其相互統一。亦即要統一智力活動與筋肉活動的過程,至於語句之指導具愈簡明愈好。此乃為減少兒童為思考,及選擇口訣而使智力活動緊張而使筋肉活動的協調而影響計算速度。三算結合的教學法實施以來,口訣簡單,心算、筆算的正面轉移作用使智力活動減少,筋肉活動得以協調而有利於自動化。

  三算結合的教學法之實踐豐富了珠算的心理學,充分顯示珠算教育的效能,我國的三算結合的教學法早已引起國際間的注意,日本全國珠算教育連盟,每年派遣使節團前來視察三算結合教學法,歸國之後均作成公文呈報。第4次使節團團長荒木勳曾指出:「三算結合教學法」是一種絕對優異的教學法,應該推廣到世界各地」,我們對此經驗與教訓建議體認,故而一再加以檢討,其至正繼續研究改進中。

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