研究集會講演

珠算シ算數教育

宮崎大學名譽教授 九州東海大學教授 (土反)元信吾

國珠聯總會會長 張欽梁 翻譯

 

承蒙全珠連所舉辦的研究集會邀來演講;這是第三年。我之所以與各位有緣,在此要稍加以解釋;那就是與今天即將要介紹的內容有關。私立宮崎大學透過算數與數學教育原理教員培養的工作,約有40餘年。這個當中,我之所以辛苦的原因是--那就是普通的教學問題,例如:代數、幾何、徵積分等的教學的話,那些均屬於內容較深,對學生而言既是新的,也值得一拼的學間,學生也願意努力才對,但卻是要作「數學科教育法」的演講。亦即要講對於小學、中學、高中等學校,透過算數或數學教育,培育如何成為有用的人材。在學生的立場而言;小、中、高等學校的算數、數學的教學法頂多也就是講一些技術層面的問題,所以會認為沒什麼了不起而輕視它,所以我有所擔心。因此不能僅輕描淡寫地帶過去,非得講一些有實質內容的問題不可,為此必須首先要接觸到有關數學的根本問題。那並不是要教高難度的數學問題,而是要講一些有關小學算數問題,這本來是較辛苦的事。其次,為了改變觀點,要對數學以及數學教育的歷史的變遷的調查,人類本來對數與量的關係,究竟有什麼新的想法,並認知這種觀念的進展,而這種過程是否能使那些觀念有所發展?

 

至於有關數學的歷史;其一就是古代由埃及到希臘、經羅馬到印度,再加上阿拉伯數學,經盧尼山斯傳至近世的數學,甚至呈現現代數學的過程。另一則指起源於中國的數學,傳至日本後經日本人消化的過程,以上有兩種。這兩種東西數學加以比較,則有不同的形式,雖各有其特徵,但亦有共通之處。特別是對後者,亦即由中國傳至日本,並發達的數學,如加以調查,就是以算盤所作的計算法,其中以使用算盤計算的除算--歸除法一令人感到興趣。亦即所謂「二一添做五,逢二進一,三一三十一,三二六十二,逢三進一」等除法九九的歸除法。當我是學生時代,僅把它當成計算除算的技術而學習。對於所謂三一三十一的含意也不懂。同時也感覺到那是一種迅速的計算的方法。如將1除以3時,在算盤右方將實數1(以前把被除數稱作為實數)置之,在左方將法數(除數)置上,邊唱三一三十一,邊將l變成3,作為商的首位,在右邊置1(這是餘數0.1),因再將1除於3,需再唱三一三十一,得其商3而餘數則為0.1。就這樣其商為0.333,此法所含之數理與筆算有共通之處,此乃是我開始研究之後才知道的,只要一看除數的首位與被除數的首位,便很快的可以把商叫出來的歸除的結果,是多麼令人驚嘆!

 

於是我覺得非把這種非常優異的東西介紹給教育部的學生不可,我就在算數教學的時候給予介紹。例如:學生以筆算將2除以3時,在技術上毫無困難,且不需任何思考的情形下算出,但如以歸除法計算時,這具有7種,且對學生是新方法而言,會產生很大的挫折感。於是,對這簡單的除算題加以重新思考,而且現在依筆算的方法所涵蓋的數理加以思考。就想出在珠算、筆算所含而共通的數理的動機。從此學生開始有了使用歸除法計算二位數,三位數的除法的興趣,進而由學生可以自行繪算盤圖加以說明。以珠算、筆算計算除算的原理是共通的,那就是;如獲得首位商後,乘以除數所得積減除被除數,將其餘數作為新的被除數,再以除數求第二位商,而以此過程反覆計算即告完成。我曾就這種方法在別的大學的教育部講解的結果,同樣很受歡迎,而且也很感激。

因為有這種事實,我就在昭和54年日本數學教育會全國算數數學教育研究大會,成立一個分科會,以「由珠算到筆算」的題目發表。但這種題目難免令人有已邁入電腦時代的今天,沒有必要教珠算,而應該趕快教筆算的看法。但我卻認為在未進入筆算之前,應先使用珠算計算。因為珠算是具有取位計數法的原理,而且可以很清楚的透過人的視覺的一種計算,亦即合乎教學原理的方法,且具有動手指的學習效果原理的指導法,且最適合於兒童學習。依照這種計算原理去熟悉計算法,再進入筆算的話,當可以對正確的筆算法有所了解。倘若一開始便教以筆算法的話,有可能呈現未附以理解的不消化症的情形。亦即珠算所含的數理,正好是筆算的數理基礎,而且珠算本身的運作,正顯示出促進兒童認知能力的必要因素與條件的教育心理學。

 

例如:對「l」的觀念而言,一位的1,十進位的1,百位的1,小數第二位的1,第三位的1...彼此間雖有大小(以數量而言)之別,但均以「1」的記號表示,在珠算也以一珠表示一,因此對一而言,的確令人有難以捉摸的感覺。每位的1在計算上,均置於每個位置上,而產生共通的作用,諸如此種情形,謹以幾句話說明,也無法讓兒童很快的理解。然而使用算珠加以撥動時,反而可以促使兒童理解,這種情形當可用心理學的原理加以證明。

 

在日本數學大會聽過我發表的大旦尾廣先生,還有全珠連(全國珠算教育連盟)的各位先進,料想會感到高興才對!為了促使日本兒童對數的概念得以健全,而對數理的理解也能成長,我會經發誓要從珠算的另一邊來努力,目前我在工學部教授普通數學,我發現欲健全數的概念與理解,不僅要從兒童時期加以培養,而且深受其左右。珠算對算數教育,究竟有多大的助益,有如下面的一番話可以證明;我國在江戶時代那些高深的數學家們,會有把相當於今天的代數與微積分的東西,從中國大陸輸入日本本土,亦有經由他們獨自創造研究的。那種方法就是以所謂算木的器具,用漢文加以表達,很難得的是終究能以那不方便的方法,做那麼高深的研究,不得不令人佩服。另一方面,一般民間的日用計算,莫不使用算盤來達到加、減、乘、除計算的目的。至於所使用的數字當然是使用漢字,這些一般通稱為「和算」,迄明治維新至文明有所開化之後,政府規定數學(包含算術)要洋算(數學數字即今日的阿拉伯數字),就在當時日本會迎接由美國和法國派遣的校監前來指導;當時指導由和算轉入洋算的官員們,對於珠算有極高的評價,並且指示不要放棄珠算,要繼續使用。我會深思;江戶時代,使用那不方便的漢文數字計算的和算,至明的時代,對於現代的洋算,為什麼能很迅速而完全地移轉;應該是因為計算和算運用算盤,而能獲得健全的數概念所致,同時亦因有了算盤,而對於在計算上所含各種法則,均能很快的體認,亦就是由於算盤的關係,不僅對於數的概念,尤其計算的法則,及計算方法得以奠定基礎。像這樣的基礎與素質能建立,欲理解數學必然是極為快速而容易,而且也很正確。正因為如此;今後電腦即將會再進步,那當然是預料中的事,而對要運用電腦的人類而言,要如何使其有正確的數的構造,與計算的構造,否則怎能有能力來做計算程式的設計?

 

透過算盤奠定算數的基礎,然而在算盤中究竟隱含有多少的數學的原理?對此問題,我們願把它作為必須研討的理論,因為我會把它作為必須考察與研究的課題;那就是:

 

◎數學與數學教育之分野:依據數學觀念,將其特徵加以彙總,顯示珠算在數學與數學教育中所佔位置的重要性。

 

◎算術與珠算:在數學中可以將其與算街的分野加以劃分。算術與數學畢竟稍有差異,再將算術與珠算的關係加以調查。

 

◎珠算與教育心理:人類;尤其是幼童時期的成長過程為何?算盤對數與量的觀念,以及對健全計算能力之成長與延伸,發揮多大的功能,應加以肯定!

 

◎從此以後珠算教育所扮演的角色;無論電子計算機再怎麼發達,珠算與數學在算數教育中所發揮功能與任務是愈來愈重要。

 

在此,我先將數學的分野說明如下;目前有關數學有種種分科(分類)。其一,先將上述所提算衛例舉之;算術究竟做什麼?算街是將0與自然、數(01234...)亦即整數(所謂整數本來應包含-1-2-3...等負數,但算術並不包含,正好是目前各小學所使用的整數”)的概念已成立,此種表達法(命數法、記數法)與以此為對象的加、減、乘、除的四則計算法可以運用,尤有進者,有關小數的含義及其表達法,及四則演算法外,分數的意義與其四則演算法的表達法亦可接受。

 

於此,應加以考量的就是:在整數的領域(集合)堙A小數、分數的計算領域中,各有其領域,且各有獨特的方法,不僅有相似之處,亦有共通的性質。研究其共通性質的,就是代數的工作。至於算術則需使用度、量、衡,也就是需要使用長度、寬度、重量等的單位關係,其有關計算,及與日常生活相關的各種應用問題。其次就數學的分類有闋的問題;在舊制的中學裡,很清楚的有代數這一科目,但戰後的新制之初、高中裡,其內容在解析III與數學的III之中都有所謂'代數這一科目的名稱表面上雖沒列出,但在高中的新教育課程中有這個科目。既然如此,那麼"代數"又是屬於什麼樣的數學?可以說代數就是研究計算法則的學科。現在就來與算術做個比較,在算術裡,比如說:27+48的計算題而言,這個題目本來含有(20+7)+(40+8)的意義,如以筆算計算的場合加以分析則:可以7+8=1520+40=6060+10=7070+5=75(計算法或許會因人而異)。如使用算盤加以計算則,要以27+40=677+8=1560+10=70,就以加法的交算法則a+b=b+a,結合法則(a+b)+c=a+(b+c),總有數回可以應用。

 

在算術則對此法則不需加以證明,就以當然的方法加以計算。但就代數而言,如其對象為數,而其數為整數,或分數時(當然,分數會包含小數)還有擴張到無理數,尤其是其對象並非數時,要數組合,如為行列題時,要很明確的將加法、乘法加以定義,同時根攘此定義去研究上列各種方法的法則是否可以成立?然而其對象如屬具有集合要素的成份時,宜將特殊情形加以去除後,要加以證明,任何要素是否都能成立?自然要使用abc...xyz...,做此種研究峙,可以發現使用算術(含使用算盤)來計算,對數的計算與數理卻很清楚。代數學的對象集合有數種,其中對數的集合應屬於最基本的東西。因此,數將成為以代數為對象的定義是很有必要的。

 

比喻說;自然數(123...)來加以推敲,究應如何加以定義?關於這樣的問題,古時候的哲學家,例如:阿里斯脫帝烈士等人,也會思考過這個問。然而他們卻無法將有關持有代數的數或計算的性質,加以證明。至19世紀,數學家們終於轉而對自然數加以定義了。就以之為代表;我願意舉出WEBER(德國,1842~1913)PEANO(義大利,1858~1932)。首先以WEBER而言;他對自然數的概念會加以多方創立。誠如所知;自然數有兩種作用;其中之一,就是個位數,亦即集合數的作用,現在其中之一是屬號數問題,亦即可發揮順序數的作用前者,"3"3個,3本,3張等,表達集合數的要素。後者,在某集合中,有個要素的位置,處於第三順序似的,會顯示一些事物的順序之位置,那麼,在這兩種作用,一種是最基本的,就是本來已經有的。那種情形,大家有沒有思考過,跟母親一起入浴,並能在洗澡間數出至100的數字的小孩,對於種種數,對這含有兩種意義一節,可能未曾有所意識。被認為由其中集合數的作用切進來的就是WEBER,從順序數的一邊切入的是PEANOWEBER不但將自然數定義為數學的一環,尚且也不忽視人類,他首先假定人類具有三種精神能力,乃是天賦予的能力的基礎。其中第一就是;人類天生具有對"單一的事物(唯一的事物)""多件事物"的識別能力。而且對"多件事物"也能作為"新單一事物"的能力。為何能如此,這理由應先假定不加以詮釋。

 

第二,就是從"多件事物(今日所謂的集合)中,對學一事物(要素)"新多件事物"(部份集合),有選別的能力。

 

第三就是有將物與物之間加以對應的能力,舉例說,小孩他們對洋娃娃的集合中,每一個洋娃娃就帽子的集合要素中,一一把帽子戴上去的對應能力。同時亦可以從箱中的糖果,可以將其對應一一地以應有的數詞,加以算出的能力,這些對應的能力,應屬毫無疑問。

 

上述那些精神能力,應屬先天的,但亦有由後天的指導而成長的。比如說;對應能力,乃屬後天指導後才產生下面的對應能力。如所有自然數與其中所有偶數與圖面所顯示對應的方式,能使其11地可以對應。

 

 

由此可以發現所有自然數與其中所有偶數,使其個別對稱而相等。又所有自然數的集合與所有分數集合之間,如予以巧妙地使其對應時,將會成立l1的對應關係。那些對應的方法如將其集合為下圖般在一直線上表示時,亦可能無法完成。

 

 

如上圖所示,就分數而言,任何兩個分數之間再接近,期間存在著許多分數而自然數則在12之間,再也沒有其他的自然數。所以一見之下難免令人有為什麼有那麼多的分數。

 

下面的【   】內所顯示的內容,因時間的關係,無法在演講中說明所以就此省略。

 

但是如下圖一般將分數加以配列時,可發現分數與自然數之間,將會持續地有11之對應係。由這表以想像1/12/23/3...11/22/43/6...1/2乃是相同的,2/23/3...2/43/6...,等與自然數對應的分數者所類似。(1)(2)(3)…乃是自然數。而1/1←→11/2←→22/1←→31/3←→43/1←→  (5)…。等一般可以對應。

 

 

由此可知,所以分數的個別數與自然數的個別數將會相等,但是如√2Log2,π......等的含有無理數的實數的集合,與自然數的集合之間,11之對應關係是不會成立的。由這些觀察,如微積分的種種考察中,像討論連續、極限等一些基本問題時將會產生極為重要的功能。WEBER基於上述的先天所賦予及繼續成長等各種能力的存在,將自然數建立如下列:

 

第一階段:假設兩個集合是11,而可以對應的話,這兩個集合將會對應,如有些對應是因1l而形成的觀點時,其內容即是不一樣也可以成為同伴。我們平常所想像的集合,可以從對等的觀點轉而成為合群的同伴關係。而這些同伴將彙集而成為集合體。由此所形成的集合體就叫""。屬於同類的要素(在此是集合)是相互為同伴。

 

第二階段:如同第一階段一般,由對等觀點所加以類別,而屬於各類的集合,會擁有屬於自己的名稱(稱之謂數詞)。當然屬於異類的集合,就有其不同的名稱,亦即持有不同的數詞。那些數詞就是1234

 

 

第三階段:有限數()與無限數()

假設有某一集合A,其數詞就是a,對A加上非A的任意一項要素(單一),其集合叫做A'時,A'的數詞以a+1來表示。此時AA'無法歸屬同一類峙,亦即aa+1時,a叫做有限數。然而AA'之間可以技巧的加上l1AA'即屬同類,a=a+1就可以成立。(未完)