丙、數學科創造思考與問題解決的策略

 

國珠聯總會會長 張欽梁 彙編

 

教學策略是呈現課程的行動,是促進學生有效學習的一種教學計畫或方式,考慮學生最有利的學習情況,以獲得知識觀念與技巧。沒有一種教學策略是最有效的,也沒有一種教學策略能放諸四海而皆準。

 

數學科是創造思考教學的策略,主要是希望利用各種啟發創造思考的原則方法,引導學生能用新的方法與觀點,來解決數學的問題。

 

目前在國內有關數學創造思考教學的策略並不多見,因此數學科創造思考教學之實施,許多國小教師頗感困難,紛紛提出建議,希望儘可能提供老師們各種不同的策略或方法。本研究在實施國小資優班數學科創造思考訓練之初,即廣泛搜集有關文獻及參考書籍,著手整理有關數學創造思考與解題的策略及可資利用皆問題型式;並曾以一年的時間在台北市龍安國小數學實驗班組成數學科創造思考策略研究小組,輔導數學科教師設計有關數學科創造思考策略及問題,龍安國小數學實驗班亦曾舉辦全市性教學觀摩會將研究心得發表,研究者更利用這些策略及問題在台北市立師專及新竹師專所舉辦的國小資優班教師研習班講授並共同修正,整理成以下四大項策略作為實施數學科創造思考訓練之參考,亦可供今後繼續研究發展之依據。

 

一、問題解決的策略(Problem-Solving Strategy)

 

問題解決的策略除了在解決一些文字敘述的應用題外,更希望能將數理原則應用到日常實際的生活問題上。以下列出一般解題及創造性解題的策略:

 

1.製作相關問題

 

解析:許多教師直覺的認為學生辭了某個問題以後,便能解決一些類似但不完全相同的問題,其實不然,教師在解題完後,鼓勵學生自行提出原題的擴展問題或相關問題,或由教師提出而由學生討論其解法是十分重要的謀題。

 

實例:提出相關問題或擴展原題有下列方式:

 

(1)改變問題敘述的前後文或背景、情境

原題:8人的網球比賽中,每二人對打一次,共須對打幾次?

1. 8柱的圓形帳蓬,每二位用一條繩子互相牽引支持,共須多少條繩子?

 

(2)改變原題的數字

2. 12人的網附仁賽中,每二人對打一次,共須對打幾次?

 

(3)改變原題中的條件

3. 人的網球比賽,分組對打,每人失敗一次後被淘汰,共須打幾場,才可決定出一個冠軍?

 

(4)改充分條件為必要條件

4. 某次網球比賽,每二人對打一次,共有66次比賽,間參加比賽的有多少人?

 

(5)加入多餘或不必要的條件

5. 8人的網球比賽,每二人對打一次,每次比賽均須排在星期六及星期日,每一個比賽每個選手繳交15元,問須比賽幾次?

 

(6)以上5種變化情形的綜合

6. 12個騎自行車的伙伴想去騎一部新的協力車,其中男生7人,女生5人,若每個男生均與每個女生共騎一次,這十二人總共騎車幾次?

 

2.提出自我引導的問題

 

解析:有的題目,先不求解答,但很接已給條件或資料,找出一些中間問題去解它,這樣常常可以幫助解題者從已知條件朝問題解決邁進一步,大部份多步驟的應用問題,都須經過中間問題的解決,才能得到原問題的答案。

 

實例:

 

(1)小明的媽媽以每368元的價佫買了18個蘋果,通常每個蘋果要賣32元,間小明的媽媽在這情況下省了多少錢?

(本題的中間問題如:(A)18個蘋果,3個一堆可成幾堆?;(B)368元,18個蘋果要多少錢?;(C)每個3218個蘋果要多少錢?;(D)368元的蘋果一個與每個32元的蘋果一個相差一個相差大約多少錢?)

 

(2)小朗在市場賣了一在帽子,上半天他每頂賣30元收入180元,下午他賣每頂20元,賣掉的帽子比上午多一倍,請問他這一天共賣了多少錢?

(本題的中間問題如:(A)早上小明賣了幾頂?;(B)下午賣了幾頂?;(C)早上收入多少?;(D)下午收入多少?;(E)總共收入多少?)

 

3.猜測與驗算

 

解析:這是一種常用的解題策略,尤其在系統化或分類的猜測與試驗中常常是十分有效的方法。

 

實例:

 

(1)成人票每張6元,學生票每張4元,小朋賣了13張得到66元,問他賣了幾張成人票?

(A)學生先猜可能的答案(例如,猜6張成人票)

(B)驗算這個猜測。(此時,應發覺此答案不對,應有較多的成人票)

(C)若猜測有誤,修正前一猜測使其答案更接近。(例如猜7)

(D)再驗算而得知其為正確。

 

(2)一個二位數,二個數字之和為10,若將十位數字典個位數交換,所得新數與原數之差為此,求此二位數。

(A)那些二位數之和為10(192837465564738291)

(B)那些二位數在個位數與十位數字交換後,新數與原數的差為18(91-19=7282-28=5473-37=3664-46=1855-55=0...)

(C)解為何?是否有其他解?

 

(3)某本書的頁數,從第一頁到最後一頁,總共用了3289個數位(頁數是個位數算一個位數,兩位數是兩個位數,三位數是三個位數),請問這本書有幾頁?

(A)我們預測本書有9頁,每頁用一個數,故共有9個數位,顯然不正確;(B)再試99頁,此時共用了90×2+9=189位數仍然不對,太少;(C)再試999頁,此時用了1x9+2×90+3×900=2889數位,此時已漸漸接近終點了,依此可用嘗試錯誤之法而得其解)

 

4.實驗與模擬

 

解析:實驗與模擬是十分重要的解題策略。有些問題必須實際去數算才知道答案。例如停車場上紅車藍車何種較多。有些問題經常可以經由畫圖或用別的物件模擬實際情形而解決。

 

實例:

1. 8個十元幣排成一列,將奇數位置之十元幣換成五元幣之後,由第一個開始每隔2個鍋飯,換上一個一元幣,然後再由第一個開始,每隔3個鍋幣換上一個五角幣,間最後這一列的錢幣共值多少錢。

(此問題可用模擬之方式求得其解。此外亦可詢問相關問題,如(1)每換一種錢幣後,此列錢幣值多少錢?;(2)最後那幾個銅幣仍為十元幣?)

 

5. 倒推思考(還原思考)

 

解析:倒推法的觀點並不將結論或所欲求的當作已知條件,而是猜測能使結論成立孰能獲得答案的前題條件。我們從終點動手,找出令它成立或求得它的解的前題條件,再從這前題條件,找出能導出它們的新的前題條件,這樣一步一步倒推回去,希望某一步提出的前題條件與已知符合,此時由於此已知條件成立,所以一步步推出的條件都成立,從而終點結論或答案亦必可以成立或求出來。

 

實例:

 

(1)小明將媽媽給他的零用金存在撲滿堙A有一天,他將撲滿內的錢倒出來,算了算,然後拿錢去買明信片6張,每張一元,又買了原子筆一支25.5元,付款回來後,他算了算餘款為37.5元,請問他原有多少錢?

(本題用倒推的方式:(1)還沒有買原子筆時,他應有25.5+37.5=63元;(2)還沒有買明信片時,他應有63+6=69元,故他原有69元。)

 

(2)小明、小華玩取銅板遊戲,銅板共有20個,兩人輪流取,每人每次至多取2個至少取1個,取到最後一個銅板的人贏(或輸亦可),若小明先取的話,他應怎樣取才會贏?

(本題用倒推法:(1)小明欲取得最後一個銅板,必須使這堆銅板剩下3個;(2)欲使此堆銅板剩下3個,必須使其剩下6個;(3)欲使銅板剩下6個,必須使其剩下9個;(4)欲使其剩下9個,須使其剩下十二個...,依此,小明應先取2個使其剩下十八個,再依前述方法而取得最後一銅板而獲勝。)

 

6.尋找規律性

 

解析:尋找規律性是十分有用的方法,解題時,觀察此問題的一些特別選出的例子,然後歸納出其解答。

 

實例:

(1)若有一個1x1的火柴棒排成的正方形,若想將1x1的正方形改為10x10的正方形,須加上多少支火柴棒?

(本題若一直去想10x10之正方形須要多少火柴棒,不如簡化原題先看較簡單的題目,例如2x2的火柴正方形要多少根火柴棒3x3時如何?一路推想,發現其類型或規則即可。)

 

(2)暑假一位有錢的鄰居給小明一個幫忙油漆的工作機會。有兩種給他報酬的方法。若工作十五天給600元,或者是第一天給1元,第二天給2元,第三天給4元,第四天給8...到第十五天,如果你是小明,你喜歡那一種給酬勞的方法?

 

(本題學生可作一個表如下圖,將每日收入列出,再求其和而

 

得總數,但這樣的表十分龐大,此時即可鼓勵他們尋求日數與總收入之規則,而求得總收入是2之日數次方減一,再求日與日收入之闕係,即日收入是2之日數1成一次方,再求總收入與日收入之關係,正好是2倍少1)

 

採用此一策略之時,應特別注意,發現規則之後,應尋按其構成規則類型成立之因素,免得因特例太少而造成錯誤,如下列:

 

(3)圓周上有6點,連接6點的弦最多可將圓分成幾部份?

(本題若用1點、2點、3點、4點、5點去試驗,將發現它正好可將圓分成124816部份而猜測答案為26點,但其實是錯的,因為6點時只可分成31部份。

 

利用兩種不同價錢的錢幣,一組錢幣數遞增;另一組錢幣幣數遞減,列表運算,使其結果符合所要求的答案。

 

例如有五元和十元硬幣一堆共100個,是800元,請問五元和十元的硬幣各有幾個?(適合六年級)

 

由表上所列舉,可知假如100個全是十元,則共有一千元。而十元個數每次遞減1個,五元個數增1個時,錢數就少了五元,如此推算下去,十元個數減幾個,五元個數增加幾個才會符合題意的八百元呢?