珠心算與數學綜合教學教材

 

甲、數學創造思考教學研究

 

國珠聯總會會長 張欽梁 彙編

 

一、前言

 

英國科學家Horle說:「今日不重視創造思考的國家,明日將淪為落後國家而蒙羞。」近二、三十年來,培養學生創造思考的能力,已成為世界各國教育的趨勢,美國學者Osborn也說:啟發創造思考能力,就像我們會使想像力窒息一樣,我們也可加速想像力,創造力可以表現在各種技能中,而不只限於藝術方面,因此如何加強學生之創造思考訓練,進而培養其創造思考能力者,已為刻不容緩之事。然而究應從何時或何階段開始,方能收致良好的效果?我們認為一切要從小開始,而且愈早愈好。所以遲一年培養,就差一年,為此本會乃毅然決然地,繼8310910兩天小學珠心算與數學結合教學研究會,緊接著辦理幼稚班的教學與珠心算配合教學研習會,對456歲的幼童而言,當應本著從數學進去,由珠心算出來。

 

二、本文

 

()從數學進去自珠心算出來

 

蓋幼童出生後由哇哇學習語言,至稍能言語,已三、四歲,但尚無數的基礎與思考的理念,為直接施予指算,或珠算式或任何一種心算教學時,不但效果不彰,更會戕害孩童的數理與思考甚至推理等,作數學必須具備的能力。十年來在台灣地區,曾有人大事廣告宣傳所謂新式心算而風盛一時,然而幾經何時,已消聲匿跡,但正因會大事推展使許多幼童深受其害而不自覺,而家長亦以其小孩學心算後,四則計算快速,或曾參加檢定而成績優異,或因參加比賽獲獎而興奮莫明,然而經仔細追蹤分析研究後,發覺近十年來大部份珠算能力優異者,升學情形都不理想,考其原因,就是在於此,筆者乃提倡先奠定孩童的數理與思考能力基礎,再施予珠心算訓練則不但會使其奠定思考與數的理念,且更會因具有這些基礎而有利於孩童學習珠心算。

 

()孩童奠定思考與數的理念後學習珠心算,其效果必將事半功倍

 

對幼童如先以誘導式教學法,順序漸進地培養數學的推理與思考及計算的能力一個月後,接著配合珠心算之教學時,不但容易被孩童理解與接受,且效果與速度非常良好,同時其學習的時間,還比單學習珠心算的時間還少之外,其成效則可收致雙倍。學習至五歲時,可以培育小學一、二年級的數學的實力,六歲時可以培育二、三年級之實力,至七歲時(小學一年級)如繼續予以培養;當可培植三、四年級的數學的能力。

 

()認清時勢,及時改進教學,溶入數學當能一舉兩得

 

近二、三十年來因珠算深受高科技之影響,不僅有人認為電算機可以替代算盤,且也可以不需花費很多時間去訓練,加之電腦之產生,更加威脅到珠算之存在,教育當局認為加速電腦教學以資電腦化,莫不刪減較不重要的課程之鐘點,以為加強之鐘點,目前除大專之必修與選修已幾乎消失而外,下學年起高商課程亦被刪減百分之九十以上,國中不用說,小學也免談。至於社會上各補習班,大城市已步上日、韓之後塵,已有大不如前之勢,而發展較慢的城市亦有飽和或走下坡之趨勢。如不加以改弦更轍,不久將面臨淘汰之命運。大家如能及時反省自惕、自勵,隨時將數學溶入,並作技巧而適切之數學與珠心算之結合教學,除能迅速促使孩童之珠心算能力增強外,更能幫助其數學能力之提升。如此可以謂之一舉兩得。

 

()目前除日本已實施十餘年外,大陸初則謂之三算合一,繼之亦已考慮更換之中,而韓國乃於年前接受本人之奉勸,刻已實施中,最近星馬各地初則大受珠心算教學之影響,除政府重視外,尤其積極推展中。另外尚有部份較有可瞻性之培育中心,更作各種準備,而希望快速推展。至於國內則雖有多數補習班負責人,認為確有推展之必要,無奈因自小產生數學恐懼症,雖心有餘而力不足,或力有餘而信心不足,如此筆者不得不再聲呼籲,如不及時溶入,終有後悔的一天。

 

三、問題解決的意義

 

1.何請問題及數學問題

 

美國學者Guilford (1977) 認為當你尚未完全準備好去處理所面的一個新的情境,並立即採取反應時,便遭遇到「問題」。從心理學的觀點來看,對已經知道答案的,便不是問題。當我們需要超越現有的知論結構,而進行新的心智活動時,便構成一個問題。

所以一個問題即是一種情境,在此情境中,我們希望完成某一目標,但要完成該一目標的直接路徑被阻礙住了。從數學的觀點來看,Cooney (1975) 認為一個問題應包含兩個要素,首先,它必須是一項挑戰,學生無法用他已經知道的某種固定運算過程或方式來解它。其次,學生必須接受此項挑戰而去解它。例如,“找出最小的十個質數“這個題目來說,對本文的讀者而言,毫無挑戰性,不成為一個問題,但對國小四年級的學生而言,要解這個問題,就必領經過一些試驗研究的過程。此外學生若不接受該問題之挑戰而去解它,當然它也不成其為問題了。

 

一個數學問題,指須用到數學概念或原理原則來解決的問題。

一般來說,問題的種類可分為:

(1)單一步驟可以解決的問題  使用+-×÷四種運算中的某一種便可解決的問題。

(2)多層步驟可以解決的問題  使用兩種或兩種以上運算才可解決的問題。

(3)過程的問題(Process Problem)  無法只用若干四則運算便可解決,尚須利用某些解題策略才可解決的題目。

(4)謎題:過程問題的一類,但有時要靠靈光一閃,因靈感,幸運而猜中的題目。

(5)應用問題:實際世界中的問題,要解決這類問題,通常須要組織資料、收集資料,運用各種解題策略。

 

Tomas (1980) 將數學問題的種類分為下列五項:

(1)認知的問題   認知或回憶特殊事實、定義或定理敘述之問題。

(2)運算法則的問題 可以一步一步用運算規則或程序解出來的問題。

(3)應用問題    可以將問題化為符號式,再解此代數式的問題。

(4)探索式問題(Open-search)  不合解題策略提示的問題。

例:設三角形最長邊長為567,且邊長均為整數,這種A有多少個?等腰的有幾個?

(5)情境問題(Problem Situation) 提出一個問題的情境,然後要求學生思考,或自行提出問題而後回答。

例:設計一個停車場。

本題可由是教師詢問學生應考慮些什麼,並由學生一項一項提出,有了問題之後才去解它,應考慮的問題如(1)每一車位多寬?(2)每一車位成何角度?(3)若想得到10%的利潤,每小時每車須收費多少...等。

 

2.影響問題難度的因素

Leblanc(1980) 認為下列因素將會影響到問題的難度:

(1)問題中所舍的字彙。

(2)問題中字句的結構與長度

(3)問題中數字的大小。

(4)問題的表達方式:

1. 8人彼此握手,共握了幾次?

2. 不同的8點最多可決定幾條直線?

此二題表達方式完全不同,但方法卻是一樣。

(6)解決問題所須使用步驟的多寡。

(7)問題中已知條件之多寡及複雜與否。

(8)問題解決時所須使用的策略的難易。

(9)問題的答案之多寡。

 

3.何謂問題解決(Problem Solving)

「解題」(Problem Solving)有多種不同的意義,不同的時間相同的人,對此名詞的解釋可能不同;相同的時間不同的人,對此名詞的解釋也可能不同,Branca (1980)認為數學科的解題意義通常存在三種不同的解釋:

(1)解題是數學學習的目標(Goal),學習解題是學習數學主要理由;特殊的問題,演算程序甚或各種數學的內涵,均為達成此目標所採用的材料而已。

(2)解題是將先前所學的知識運用到新的或不熟悉的情境中的一個過程(Process):在此觀點下,解題的方法、程序、策略及解題的原則被認為是最重要的。

(3)解題是個人在未來社會中所須要的基本技能(Basic Skill):在此觀點下,基本技能是重要的。但是「何謂基本技能」仍然是一個未定的問題。

 

四、數學的創造思考問題解決

 

所謂「創造思考問題解決J是指這用創造思考的原則,過程或策略來解決問題,也就是用一種新方法、新觀點及不同角度來看問題,等到強調「暫緩判斷」及、「以量取質」的原則。運用創造思考的方法來解決數學問題,就是「數學的創造思考問題解決」(Creative problem Solving in Mathematic ,簡稱CPSM)

 

Reeves (1982) 提出數學創造思考之解題要點如下:

1.鼓勵學生對簡單問題提出多種不同的解法,強調解題並非只要答案,刺激學生擴散性思考。

1.要求出25×19有那些方式?

  (1)19x25

(2)19+19+...+19

(3)25+25+...+25

(4)((25×4)×19)÷4

(5)25×(20-1)

(6)25×(10+9)

(7)19×(19+6)

2.要求出1+2+3+...+100可以怎樣求?

(1)用電算器,(2)配對1+1002+993+98...50對。(3)加所有的個位數字,再加所有的十位數字。

 

2.提出很明顯可以看出不合於常理的數學規則,然後讓學生討論它可能產生的正常或不正常結果。強調所謂「真理」,只是一種觀點或承認一項事件。

1.若一年有100天,則...

2.487表示4×1+8×10+7×100...

3.若你不懂得乘法,只會除法,你如何去算9/10÷3/2並加以歸納一些原則。

例如 (a/b÷c/d=a ÷c /b÷d),此處應安排使a÷cb÷d為整數。

3.用幽默的方式提出問題,激發其創造及聯想的潛能。

例:誰能證明8的一半是3

4.提出思考過程中可能遭遇的障礙,能注意不落入窠臼或鑽牛角尖,不自我限制。

1.種四棵樹,使此回棵樹任意二線彼此距離相同。(本題之關鍵在跳出平面到空間)

4. 用四綠段一筆畫連接下列9

….

..

(通常習慣均認為此一筆畫之間絲段頂點必須是這9個點,其實題目並無此種限制。)

 

事實上,問題解決和創造思考的關係非常密切,對這兩種活動的闡釋會顯現其始終一致的關係;創造思考會產生新奇的結果,而問題解決乃針對新情境產生新反應,這也是一種新奇的結果。因此,我們可以說問題解決具有創造的成份。

Guilford(1977)認為我們不能這麼快就認定所有的創造思考都涉及問題解決。我們以藝術為例,顯然藝術家在做創作的時候,不像是在解決問題。不過如果我們對問題解決有較廣義的概念的話,上述的例子也許可以成立。我們可以說藝術家的問題是一種自我表達,他想向世人發表一些東西或者他希望使他的所想或所感變得明確其實。這種問題的起源存在於藝術家本身,所以問題解決與創造思考是一體兩面,相輔相成。

 

()問題課程設計指引

 

1.同時使用編譯及過程的問題

編譯問題(Complex translation )是指對於不能一步便可得解的問題,須先加以分析並逐步轉化為數學運算然後再行解題。而所謂過程問題(Proccess Problem ),指重視解題過程的問題,並非只具演算、計算的問題。

 

2.設計各項能提昇學生解題能力的數學活動

(1)提出問題,讓學生判斷是否條件太少或過多或恰好足夠。

(2)提出情境,自學生或激師說情境提出可能需要解決的問題,然後加以解決。

(3)提出問題並給予答案,讓學生判斷答案是否合理。

(4)提出問題,讓學生指出影響答案的條件及如何影響答案。

 

3.給予學生每日解題的機會,增進其解題經驗及能力,安排恰當時間,培養學生積極的學習態度。

4.對不同成毅的學生提出不同的問題,對低成就的學生提出問題時.,應給予絞直接明確的提示。

 

()有關解題的研究結果

 

美國數學數師協會(NCTM)1980年代數學科建議書(AAgenda for Action)〉中曾建議:數學科的解題(problem solving)教學應包括解題策略(strategies),解題過程(process),及表達的模式(modes of presentation )三方面。Suydam(19801984〉梭討各類有關解題的研究報告亦發現,許多研究的結果支持了NCTM的建議,他列出下列五項。

 

(1)解題的策略可以明確地教給學生,學生學了之後,亦較能利用這些策略解得正確答案。

(2)學習解題策略,使學生擁有較多的方法來面對各種不同種類的問題。

(3)沒有任何一個解題策略或方法是最好的,某些策略對某類問題很好,但對他類問題則不一定是好的。

(4)有些解題策略較常被使用,而大部分的策略是用在解決一個問題的不同階段上。

(5)應該出一也學生初看之下,無法立即解決的問題來讓學生研究,並鼓勵他們嘗試利用各種不同的策略。