研究集會講演
珠算と算數教育
宮崎大學名譽教授 九州東海大學教授 (土反)元信吾
國珠聯總會會長 張欽梁 翻譯
承蒙全珠連所舉辦的研究集會邀來演講；這是第三年。我之所以與各位有緣，在此要稍加以解釋；那就是與今天即將要介紹的內容有關。私立宮崎大學透過算數與數學教育原理教員培養的工作，約有40餘年。這個當中，我之所以辛苦的原因是--那就是普通的教學問題，例如：代數、幾何、徵積分等的教學的話，那些均屬於內容較深，對學生而言既是新的，也值得一拼的學間，學生也願意努力才對，但卻是要作「數學科教育法」的演講。亦即要講對於小學、中學、高中等學校，透過算數或數學教育，培育如何成為有用的人材。在學生的立場而言；小、中、高等學校的算數、數學的教學法頂多也就是講一些技術層面的問題，所以會認為沒什麼了不起而輕視它，所以我有所擔心。因此不能僅輕描淡寫地帶過去，非得講一些有實質內容的問題不可，為此必須首先要接觸到有關數學的根本問題。那並不是要教高難度的數學問題，而是要講一些有關小學算數問題，這本來是較辛苦的事。其次，為了改變觀點，要對數學以及數學教育的歷史的變遷的調查，人類本來對數與量的關係，究竟有什麼新的想法，並認知這種觀念的進展，而這種過程是否能使那些觀念有所發展？
至於有關數學的歷史；其一就是古代由埃及到希臘、經羅馬到印度，再加上阿拉伯數學，經盧尼山斯傳至近世的數學，甚至呈現現代數學的過程。另一則指起源於中國的數學，傳至日本後經日本人消化的過程，以上有兩種。這兩種東西數學加以比較，則有不同的形式，雖各有其特徵，但亦有共通之處。特別是對後者，亦即由中國傳至日本，並發達的數學，如加以調查，就是以算盤所作的計算法，其中以使用算盤計算的除算--歸除法一令人感到興趣。亦即所謂「二一添做五，逢二進一，三一三十一，三二六十二，逢三進一」等除法九九的歸除法。當我是學生時代，僅把它當成計算除算的技術而學習。對於所謂三一三十一的含意也不懂。同時也感覺到那是一種迅速的計算的方法。如將1除以3時，在算盤右方將實數1(以前把被除數稱作為實數)置之，在左方將法數(除數)置上，邊唱三一三十一，邊將l變成3，作為商的首位，在右邊置1(這是餘數0.1)，因再將1除於3，需再唱三一三十一，得其商3而餘數則為0.1。就這樣其商為0.333，此法所含之數理與筆算有共通之處，此乃是我開始研究之後才知道的，只要一看除數的首位與被除數的首位，便很快的可以把商叫出來的歸除的結果，是多麼令人驚嘆！
於是我覺得非把這種非常優異的東西介紹給教育部的學生不可，我就在算數教學的時候給予介紹。例如：學生以筆算將2除以3時，在技術上毫無困難，且不需任何思考的情形下算出，但如以歸除法計算時，這具有7種，且對學生是新方法而言，會產生很大的挫折感。於是，對這簡單的除算題加以重新思考，而且現在依筆算的方法所涵蓋的數理加以思考。就想出在珠算、筆算所含而共通的數理的動機。從此學生開始有了使用歸除法計算二位數，三位數的除法的興趣，進而由學生可以自行繪算盤圖加以說明。以珠算、筆算計算除算的原理是共通的，那就是；如獲得首位商後，乘以除數所得積減除被除數，將其餘數作為新的被除數，再以除數求第二位商，而以此過程反覆計算即告完成。我曾就這種方法在別的大學的教育部講解的結果，同樣很受歡迎，而且也很感激。
因為有這種事實，我就在昭和54年日本數學教育會全國算數數學教育研究大會，成立一個分科會，以「由珠算到筆算」的題目發表。但這種題目難免令人有已邁入電腦時代的今天，沒有必要教珠算，而應該趕快教筆算的看法。但我卻認為在未進入筆算之前，應先使用珠算計算。因為珠算是具有取位計數法的原理，而且可以很清楚的透過人的視覺的一種計算，亦即合乎教學原理的方法，且具有動手指的學習效果原理的指導法，且最適合於兒童學習。依照這種計算原理去熟悉計算法，再進入筆算的話，當可以對正確的筆算法有所了解。倘若一開始便教以筆算法的話，有可能呈現未附以理解的不消化症的情形。亦即珠算所含的數理，正好是筆算的數理基礎，而且珠算本身的運作，正顯示出促進兒童認知能力的必要因素與條件的教育心理學。
例如：對「l」的觀念而言，一位的1，十進位的1，百位的1，小數第二位的1，第三位的1，...彼此間雖有大小(以數量而言)之別，但均以「1」的記號表示，在珠算也以一珠表示一，因此對一而言，的確令人有難以捉摸的感覺。每位的1在計算上，均置於每個位置上，而產生共通的作用，諸如此種情形，謹以幾句話說明，也無法讓兒童很快的理解。然而使用算珠加以撥動時，反而可以促使兒童理解，這種情形當可用心理學的原理加以證明。
在日本數學大會聽過我發表的大旦尾廣先生，還有全珠連(全國珠算教育連盟)的各位先進，料想會感到高興才對！為了促使日本兒童對數的概念得以健全，而對數理的理解也能成長，我會經發誓要從珠算的另一邊來努力，目前我在工學部教授普通數學，我發現欲健全數的概念與理解，不僅要從兒童時期加以培養，而且深受其左右。珠算對算數教育，究竟有多大的助益，有如下面的一番話可以證明；我國在江戶時代那些高深的數學家們，會有把相當於今天的代數與微積分的東西，從中國大陸輸入日本本土，亦有經由他們獨自創造研究的。那種方法就是以所謂算木的器具，用漢文加以表達，很難得的是終究能以那不方便的方法，做那麼高深的研究，不得不令人佩服。另一方面，一般民間的日用計算，莫不使用算盤來達到加、減、乘、除計算的目的。至於所使用的數字當然是使用漢字，這些一般通稱為「和算」，迄明治維新至文明有所開化之後，政府規定數學(包含算術)要洋算(數學數字即今日的阿拉伯數字)，就在當時日本會迎接由美國和法國派遣的校監前來指導；當時指導由和算轉入洋算的官員們，對於珠算有極高的評價，並且指示不要放棄珠算，要繼續使用。我會深思；江戶時代，使用那不方便的漢文數字計算的和算，至明的時代，對於現代的洋算，為什麼能很迅速而完全地移轉；應該是因為計算和算運用算盤，而能獲得健全的數概念所致，同時亦因有了算盤，而對於在計算上所含各種法則，均能很快的體認，亦就是由於算盤的關係，不僅對於數的概念，尤其計算的法則，及計算方法得以奠定基礎。像這樣的基礎與素質能建立，欲理解數學必然是極為快速而容易，而且也很正確。正因為如此；今後電腦即將會再進步，那當然是預料中的事，而對要運用電腦的人類而言，要如何使其有正確的數的構造，與計算的構造，否則怎能有能力來做計算程式的設計？
透過算盤奠定算數的基礎，然而在算盤中究竟隱含有多少的數學的原理？對此問題，我們願把它作為必須研討的理論，因為我會把它作為必須考察與研究的課題；那就是：
◎數學與數學教育之分野：依據數學觀念，將其特徵加以彙總，顯示珠算在數學與數學教育中所佔位置的重要性。
◎算術與珠算：在數學中可以將其與算街的分野加以劃分。算術與數學畢竟稍有差異，再將算術與珠算的關係加以調查。
◎珠算與教育心理：人類；尤其是幼童時期的成長過程為何？算盤對數與量的觀念，以及對健全計算能力之成長與延伸，發揮多大的功能，應加以肯定！
◎從此以後珠算教育所扮演的角色；無論電子計算機再怎麼發達，珠算與數學在算數教育中所發揮功能與任務是愈來愈重要。
在此，我先將數學的分野說明如下；目前有關數學有種種分科(分類)。其一，先將上述所提算衛例舉之；算術究竟做什麼？算街是將0與自然、數(0，1，2，3，4...)亦即整數(所謂整數本來應包含-1，-2，-3，...等負數，但算術並不包含，正好是目前各小學所使用的”整數”)的概念已成立，此種表達法(命數法、記數法)與以此為對象的加、減、乘、除的四則計算法可以運用，尤有進者，有關小數的含義及其表達法，及四則演算法外，分數的意義與其四則演算法的表達法亦可接受。
於此，應加以考量的就是：在整數的領域(集合)裏，小數、分數的計算領域中，各有其領域，且各有獨特的方法，不僅有相似之處，亦有共通的性質。研究其共通性質的，就是代數的工作。至於算術則需使用度、量、衡，也就是需要使用長度、寬度、重量等的單位關係，其有關計算，及與日常生活相關的各種應用問題。其次就數學的分類有闋的問題；在舊制的中學裡，很清楚的有代數這一科目，但戰後的新制之初、高中裡，其內容在解析I、II與數學的I、II之中都有所謂'，”代數”這一科目的名稱表面上雖沒列出，但在高中的新教育課程中有這個科目。既然如此，那麼"代數"又是屬於什麼樣的數學？可以說代數就是研究計算法則的學科。現在就來與算術做個比較，在算術裡，比如說：27+48的計算題而言，這個題目本來含有(20+7)+(40+8)的意義，如以筆算計算的場合加以分析則：可以7+8=15，20+40=60，60+10=70，70+5=75(計算法或許會因人而異)。如使用算盤加以計算則，要以27+40=67，7+8=15，60+10=70，就以加法的交算法則a+b=b+a，結合法則(a+b)+c=a+(b+c)，總有數回可以應用。
在算術則對此法則不需加以證明，就以當然的方法加以計算。但就代數而言，如其對象為數，而其數為整數，或分數時(當然，分數會包含小數)還有擴張到無理數，尤其是其對象並非數時，要數組合，如為行列題時，要很明確的將加法、乘法加以定義，同時根攘此定義去研究上列各種方法的法則是否可以成立？然而其對象如屬具有集合要素的成份時，宜將特殊情形加以去除後，要加以證明，任何要素是否都能成立？自然要使用a，b，c...x，y，z...，做此種研究峙，可以發現使用算術(含使用算盤)來計算，對數的計算與數理卻很清楚。代數學的對象集合有數種，其中對數的集合應屬於最基本的東西。因此，數將成為以代數為對象的定義是很有必要的。
比喻說；自然數(1，2，3...)來加以推敲，究應如何加以定義？關於這樣的問題，古時候的哲學家，例如：阿里斯脫帝烈士等人，也會思考過這個問。然而他們卻無法將有關持有代數的數或計算的性質，加以證明。至19世紀，數學家們終於轉而對自然數加以定義了。就以之為代表；我願意舉出WEBER(德國，1842~1913)與PEANO(義大利，1858~1932)。首先以WEBER而言；他對自然數的概念會加以多方創立。誠如所知；自然數有兩種作用；其中之一，就是個位數，亦即集合數的作用，現在其中之一是屬號數問題，亦即可發揮順序數的作用前者，"3"是3個，3本，3張等，表達集合數的要素。後者，在某集合中，有個要素的位置，處於第三順序似的，會顯示一些事物的順序之位置，那麼，在這兩種作用，一種是最基本的，就是本來已經有的。那種情形，大家有沒有思考過，跟母親一起入浴，並能在洗澡間數出至100的數字的小孩，對於種種數，對這含有兩種意義一節，可能未曾有所意識。被認為由其中集合數的作用切進來的就是WEBER，從順序數的一邊切入的是PEANO。WEBER不但將自然數定義為數學的一環，尚且也不忽視人類，他首先假定人類具有三種精神能力，乃是天賦予的能力的基礎。其中第一就是；人類天生具有對"單一的事物(唯一的事物)"與"多件事物"的識別能力。而且對"多件事物"也能作為"新單一事物"的能力。為何能如此，這理由應先假定不加以詮釋。
第二，就是從"多件事物(今日所謂的集合)中，對學一事物(要素)與"新多件事物"(部份集合)，有選別的能力。
第三就是有將物與物之間加以對應的能力，舉例說，小孩他們對洋娃娃的集合中，每一個洋娃娃就帽子的集合要素中，一一把帽子戴上去的對應能力。同時亦可以從箱中的糖果，可以將其對應一一地以應有的數詞，加以算出的能力，這些對應的能力，應屬毫無疑問。
上述那些精神能力，應屬先天的，但亦有由後天的指導而成長的。比如說；對應能力，乃屬後天指導後才產生下面的對應能力。如所有自然數與其中所有偶數與圖面所顯示對應的方式，能使其1對1地可以對應。
由此可以發現所有自然數與其中所有偶數，使其個別對稱而相等。又所有自然數的集合與所有分數集合之間，如予以巧妙地使其對應時，將會成立l對1的對應關係。那些對應的方法如將其集合為下圖般在一直線上表示時，亦可能無法完成。
如上圖所示，就分數而言，任何兩個分數之間再接近，期間存在著許多分數而自然數則在1與2之間，再也沒有其他的自然數。所以一見之下難免令人有為什麼有那麼多的分數。
下面的【 】內所顯示的內容，因時間的關係，無法在演講中說明所以就此省略。
但是如下圖一般將分數加以配列時，可發現分數與自然數之間，將會持續地有1對1之對應係。由這表以想像1/1，2/2，3/3，...與1或1/2，2/4，3/6...與1/2乃是相同的，2/2，3/3...，2/4，3/6...，等與自然數對應的分數者所類似。(1)，(2)，(3)…乃是自然數。而1/1←→1，1/2←→2，2/1←→3，1/3←→4。3/1←→ (5)…。等一般可以對應。
由此可知，所以分數的個別數與自然數的個別數將會相等，但是如√2與Log2，π......等的含有無理數的實數的集合，與自然數的集合之間，1對1之對應關係是不會成立的。由這些觀察，如微積分的種種考察中，像討論連續、極限等一些基本問題時將會產生極為重要的功能。WEBER基於上述的先天所賦予及繼續成長等各種能力的存在，將自然數建立如下列：
第一階段：假設兩個集合是1對1，而可以對應的話，這兩個集合將會對應，如有些對應是因1對l而形成的觀點時，其內容即是不一樣也可以成為同伴。我們平常所想像的集合，可以從對等的觀點轉而成為合群的同伴關係。而這些同伴將彙集而成為集合體。由此所形成的集合體就叫"類"。屬於同類的要素(在此是集合)是相互為同伴。
第二階段：如同第一階段一般，由對等觀點所加以類別，而屬於各類的集合，會擁有屬於自己的名稱(稱之謂數詞)。當然屬於異類的集合，就有其不同的名稱，亦即持有不同的數詞。那些數詞就是1，2，3，4，…。
第三階段：有限數(詞)與無限數(詞)
假設有某一集合A，其數詞就是a，對A加上非A的任意一項要素(單一)，其集合叫做A'時，A'的數詞以a+1來表示。此時A與A'無法歸屬同一類峙，亦即a≠a+1時，a叫做有限數。然而A與A'之間可以技巧的加上l對1，A與A'即屬同類，a=a+1就可以成立。(未完)